纯数海本求定位！！

大三下决定申数学。。上过的数学课有概率统计，离散数学，抽代I&II，analysis, 非欧几何，微分几何，PDE（是给工科上的。。我当时是物理专业），希尔伯特空间（grad level），这学期在上实变（grad level），复变函数，代数数论，微分拓扑（grad level）；下学期会上（不过这个好像没什么用了）复变（grad level），代数拓扑（grad level），泛函分析（grad level），数值分析

感觉科研是比较大的劣势。。因为目前没有做出什么结果，以及并不知道以后想做什么。。。根据背景几何和数学物理比较强一些，SOP也准备主要写这一方面，但是最近对数论比较感兴趣，代数数论的课上也在写一篇论文(proof of quadratic reciprocity theory using galois theory)。不知道这个SOP应不应该写。。。？如果写了是不是会很奇怪。。。

准备申的学校：
MIT（？）
Michigan
Berkeley
Chicago
UCLA
Northwestern
UT Austin
UIUC
Wisconsin
UPenn
Maryland
Georgia Tech
Penn State

因为学校里的教授说我比较有希望留在本校所以没有申什么保底。。。额我的保底其实是maryland, georgia tech和penn state。。。？
好学校是不是申太多。。。？以及申几个学校比较正常？ 感觉学校也申的有点多。。
哦还有我是妹纸。。。听说这个会加分？{:4_95:}
求建议求定位，谢谢！！！