关于简历上的实习经历算不算造假问题

我有两段实习经历，但是去了一趟career center之后我都不知道往简历上写到底算不算实习了。
情况是这样的：
第一份实习，是在当地一家小公司搭建维护数据库，这家公司跟我们系合作特别多，办公地点就在学校边上，干活时间就是每个星期去十个小时。当时是一门课的老师推荐我去的。我去签约的时候发现，这居然算作我们学校的campus job，工资单都是学校给发的。所以完全不需要cpt，I-20上也没有任何信息。当时还觉得蛮省事的，办cpt都省了。

第二份实习，是帮另一家公司开发web application。我的导师在那个公司里面好像是有职位的，然后他就让我把第一份工作辞了，喊我去帮忙，干活时间没有具体的要求，但是每个星期在bugzilla上都有很多bug要修复，还有新的feature需要添加。后来因为那家公司有点远，导师就让我在实验室里干活，每个星期三去那个公司汇报一下进度。然后工资单就由导师的基金发（导师的这一部分基金就是来自于这家公司），算作research assistan。

然后我前一段时间去学校的career center（学校负责帮助学生求职的部门）求改简历的时候，里面的人跟我说，这不算实习经历，我这样写是造假，因为我的工资单是学校发的，cpt没有用过，I-20上也没有任何公司的信息。真是日了X了，早知道当时找实习的时候就用cpt了，或者换其它强制要求用cpt的实习了。

反正我现在投出去的简历上还是把这两段都写作internship的，因为我做的事情根本就是跟别的员工或者实习生一样的工作。又不是什么course project强行拿出来骗人的。

我就想问下地里的大神们，HR们，这样的实习经历到底算不算造假？是不是一定要用了cpt的才算实习经历？公司做background check的时候会不会认为我撒谎收回offer？

多谢了

补充内容 (2016-4-28 16:56):
讲道理，两段实习前前后后加起来有两年时间了（是的，我读master期间都是一边上学一边干活攒实习经历的），有些要求work experience>1 year的工作，我觉着都能投的。如果非要把这两段经历都算作非实习，感觉好伤...

补充内容 (2016-4-28 16:57):
我比较在意的时候，公司做background check会查cpt，工资单这样的细节吗？然后我应该如何跟HR或者面试官解释，如果他们提起质疑的话？