硕士毕业申请到了博士的签证问题

各位好，
本人今年五月硕士毕业，现在已经得到了另一所学校的今年秋季博士offer, 但相关的签证问题有些疑惑。
首先，新的I20号码是肯定会改变的么？有没有办法保留原来的号码？如果改变了，sevis的费用是否要重缴？
第二，当拿到新I20后，虽然我的签证今年6月就过期了，但如果不离开美国，是否也是合法的？

谢谢

补充内容 (2018-3-30 23:19):
还有一件事，在申请博士的同时，以防万一也申请了OPT，但仅仅是向原来学校的留学生部提出申请，拿到了opt的I20，还没有向政府部门正式提出申请，请问这会对我有任何影响么？