求助！关于被暑研老板迟交的推荐信以及推荐信迟交的后果……

哎又是我，除了申请完全卡deadline提交了以外，申请季还办了一件大蠢事，就是没有和暑研老板做好沟通，太迟找他写推荐信，导致赶上了他最近在忙着申grant，在我的催促下昨天才把推荐信全部交齐……其中包括1.15日deadline的数所学校(UCSD, Cornell, Umich等，同时包括1.1号截止的两所……duke和tamu)。可以说这封推荐信对我的申请帮助肥肠大。
前天晚上收到了一封Cornell的邮件，是小蜜发给我的，大意是我材料缺失，申请不会被考虑，最后说“材料缺失的时间越长，录取的可能性越低”，正巧碰到推荐信交的如此的迟，所以我怀疑是不是别的学校也是这样，只是没有给我发邮件。
所以我打算给之前那些学校发封邮件说明一下情况，但中介给我讲不要说推荐信没交的具体原因(老师太忙)，说这样会让学校多想，但我觉得如果不解释的话岂不就是我的锅了吗QAQ
所以首先想请问一下大家遇到这种情况应该怎么向学校措辞说明情况，并最大化的降低迟交推荐信的影响。(我的想法是说明一下教授最近在忙什么事情刚刚忙完，所以才迟交了推荐信，并且问一下学校审没审到我的材料，希望不要影响审材料之类的话)
第二个问题是，大家了不了解一般学校审材料是会像Cornell这样先到先得，后交齐的就不录了，还是会不看这封推荐信就开始审材料呢？(我jio得这两种情况对我都好不友好啊不过还是想求问一下)
如果有类似情况滴同学也可以讨论一哈。
谢谢大家！！

补充内容 (2019-1-25 22:53):
PS：我的意思是这件事主要还是我的锅，这件事情做晚了，赶上了最近教授比较忙。但是我觉得是不是如果说是自己的原因的话会不太好...