护照丢失所以有效F1签证也丢失，能否去墨西哥签证，新护照无VISA算不算首签

如题，想要请教一下各位：
Q1：我的F1签证还是在有效期内，但是因为护照丢失所以新护照上没有VISA。现在是CE的phd，如果可能的话想要明年回国一趟，但是出境就肯定要办VISA，之前了解到墨西哥（比如蒂华纳）是不能首签F1的，不知道我这个情况算不算首签，能不能去墨西哥办签证？
Q2：我猜大概率会被check，想问一下如果在第三国办F1签证被check是否可以把护照拿回来回国内等approve？因为不知道明年国内大使馆的开放情况，如果可以的话想要回国之前先去第三国面签，然后回国等签证下来，不知道是否可以？

感谢感谢！祝大家一切顺利中秋快乐！