目前办新加坡Employement pass至少要几天

我目前在美国 要入职一家跨国公司 第一年base新加坡然后外派回美国工作 第二年起base美国工作。因为美国签证问题，我希望尽量缩短呆在美国境外的时间。我打算等公司把手续都办完，就飞来新加坡，把体检/拿工卡之类的事情尽快办完，然后飞回美国。请问：
1，从美国飞来新加坡，到办完体检工卡之类手续，最少要多少天？
2，一年几乎都外派美国，在移民法上有问题吗？（公司没意见）
3，能不能在飞去新加坡拿工卡之前，就开始工作，未来有空了再去拿工卡？（我需要合法的为base新加坡的公司远程工作，但没有入境新加坡的刚需）