可以不跟新公司提icc经历吗

大家好，
我有两个问题想请教一下，回帖的都给加大米，今天加完了明天继续加：

1. 我的inital opt 今年2月23日过期，在去年12月的时候入职了一个icc，也更新了sevp portal，而且通过icc名义申请了stem extension。
最近在面其他的公司，投的简历都是没有icc经历的版本，我需不需要跟hr update icc的经历呢，如果拿到offer的话background check会不会有什么问题（失业期之类的）。
我有可能完全不跟公司提icc经历吗，不想提是因为还没上过项目，没什么可写到简历上的。

2. 另一个问题是拿到offer后是不是应该：
第一个阶段：把start date推到ead拿到后（ead没拿到的时候更新i20可能会有问题），跟hr沟通今年抽h1b
第二个阶段：等EAD卡到了，申请新的i20，change of employment，入职

请大家帮我看看这个过程有什么考虑不对的地方吗？
多谢了！