F1签证延期毕业身份问题

本人F1本科生，家人出事，紧急回国，这学期的课就得drop了。我们学校很多major requirement的课程只有秋季学期才有，所以肯定得延期毕业了。
那我就只能在23年的12月修完所有课程，但要24年6月才能拿到毕业证。 这半年的空白期F1和I20肯定失效了。
我打算在这多出来的半年里跟着教授做点research， 免费的。 我现在也在做，教授人很好，应该会继续收留我。
可是我不知道我能合法地待在美国做research吗？我不交学费应该就不是学校的学生了吧，还能做这种volunteer的校园工作吗？
多谢指点！

我是不是理解错了？ 是不是学分修满就可以拿到毕业证去做OPT了？