H1B transfer I-797表格start date的问题

我H1B transfer已经被批准，然后已经跟老板提出辞职。老板很nice，理解支持我，同时说要我搞清楚H1B transfer后，新公司I-797上的start date必须晚于我现在公司的last day。请问这个说法属实吗？
举个例子，假设新公司I-797的start date是6/1, 而我入职新公司的start date是6/10, 所以我必须在6/1日前离开我现在的公司？？？我总觉得好像不对。

另外，新公司的I-797我还没接到(只知道approve)，但我看了下之前I-797，上面只有valid from, 没有什么start day啊